Hallo, guten Morgen. Wir schauen uns gerade an den Zerfall in der Quantenmechanik.

Und die typische Situation, die man vor Augen haben soll, ist ein Niveau der Anfangszustand gekoppelt an ein Kontinuum von Zuständen.

Also viele Niveaus, die was beliebig dicht aneinander liegen.

Und so war das Bild, was wir hingezeichnet haben, dieses eine Anfangsniveau bei der Energie E, gekoppelt an viele andere Niveaus, die dann in einem passenden Limes ein Kontinuum bilden.

Und die hatten wir mit K durchnummeriert und die hatten die Energien E, K und waren gekoppelt mit Matrixelementen, die wir G, K genannt hatten.

Das heißt, das G, K wäre das Matrixelement des Störoperators, der zum Beispiel eine Tunnelkopplung beschreibt oder die Kopplung zwischen einem Atom und dem elektromagnetischen Feld.

Das Matrixelement des Störoperators zwischen dem Anfangszustand und einem dieser Endzustände.

Und wir hatten dann hergeleitet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, in irgendeinen der Endzustände zerfallen zu sein.

Zumindest für kleine Zeiten, linear in der Zeit anwächst mit irgendeiner Rate.

Die Rate hängt natürlich davon ab, wie stark die Kopplung ist. Die Rate hängt auch davon ab, wie viele Niveaus es überhaupt gibt.

Und das wird beschrieben durch Fermis goldene Regel.

Das heißt, diese Rate in einen speziellen dieser Endzustände zu gehen, hatten wir gefunden, kann geschrieben werden als 2π durch h quer, mal das Quadrat des Matrixelementes,

mal eine Delta-Funktion, die mir dafür sorgt, dass Energiehaltung respektiert wird.

Nämlich für hinreichend lange Zeiten wird sich herausstellen, dass das Schwergewicht der Wahrscheinlichkeit konzentriert ist in Zuständen, die in der Energie sehr nahe an der Anfangsenergie sind.

Im Limits ganz langer Zeiten beliebig nahe an der Anfangsenergie.

Das hat euch diese Delta-Funktion ausgedrückt, dass die Energie des Endzustandes, also hier k, gleich sein sollte der Energie des Anfangszustandes.

Nun muss man bei so einer Delta-Funktion immer sagen, wie das zu verstehen ist.

Die Sache ist so zu verstehen, dass wir die gesamte Rate vom Anfangszustand in irgendeinen anderen Zustand überzugehen, dann erhalten sollen als Summe über alle Endzustände.

Die Idee ist, dass wir diese Summe dann übertragen in ein Integral über die Energien der Endzustände mithilfe der Zustandsdichte, die uns abzählt, wie viele Zustände pro Energieintervall überhaupt vorhanden sind.

Das heißt, speziell wenn gk zum Beispiel eine glatte Funktion der Energie ist, dann kann ich es leicht hinschreiben, das ist dann 2π durch h quer, mal gk².

Ausgewertet bei einem k, dessen Energie gerade passt, mal die Zustandsdichte dieses Kontinuums von Zuständen, ausgewertet bei der Energie des Anfangszustandes.

Das ist also sehr wichtig, Kopplung zum Quadrat mal Zustandsdichte.

Wenn keine Kopplung da ist, ist die Rate klein, aber auch wenn keine Zustandsdichte da ist, ist die Rate klein.

Wir hatten schon ein Beispiel diskutiert, dieser Purcell-Effekt, wo ein Atom versucht einen Photon spontan zu emittieren, aber wenn überhaupt keine Zustandsdichte da ist für die Photon, dann wird die Rate auch klein sein.

An der Stelle können wir nochmal kurz prüfen, wie das ist mit den Dimensionen.

Die Zustandsdichte hat die Dimension 1 pro Energie, dann sie zählt, wie viele Niveaus pro Energieintervall habe ich.

Gk ist das Matrix-Element von diesem Störoperator v, der ein Bestandteil des Hamilton-Operators ist, also muss es die Einheit Energie haben.

V hat die Einheit Energie, also gk hat die Einheit Energie, das heißt, das ist Energie zum Quadrat.

Dann bekomme ich eine Energie weggekürzt und Energie durch h quer ist eine Frequenz, also eine Rate.

Das gilt ganz allgemein.

Und dann hatten wir begonnen, uns anzuschauen, eine etwas speziellere Situation, wo wir ein klein wenig mehr wissen über die Struktur von dem ganzen Problem.

Die Struktur soll so sein, wir haben ein kleines, diskretes Quantensystem, wie beispielsweise ein Atom mit seinen diskreten Energieniveaus oder einen Spin.

Und das ist gekoppelt an ein großes Bad, wie das elektromagnetische Feld oder die Phononen im Kristallgitter.

Das ist eine Situation, die sehr oft vorkommt, ein kleines System gekoppelt an ein großes Bad.

Und in dem Fall sollte die Störung von der folgenden Form sein, die wirklich sehr oft auftritt in der Natur,

nämlich im Wesentlichen ein Produkt zwischen einem Operator, der zum System gehört, wie beim Atom das elektrische Dipolmoment,

und einem Operator, der zum Bad gehört, wie zum Beispiel das elektrische Feld am Ort des Atoms.

Und ich habe das so hingeschrieben, x mal f, damit von den Dimensionen her wir zum Beispiel denken können an eine Koordinate meines Teilchens, und f wäre dann die Kraft.

Und wir hatten auch eine Situation betrachtet, wo der Anfangszustand einfach ein Produktzustand ist zwischen dem System und dem Bad.

Mit anderen Worten, das Bad ist beispielsweise im Grundzustand und das System ist in irgendeinem angeregten Zustand, denken wir an einen angeregten Zustand des Atoms.

Und der Endzustand, in dem wir dann übergehen, den habe ich hier f genannt, der wäre auch ein Produktzustand.

Am Ende müssen wir natürlich über viele Endzustände summieren.

Und dann kann man zunächst mal wieder genau dasselbe hinschreiben, das heißt, das hier gilt genauso, vielleicht sollte ich k durch f ersetzen, aber der Rest ist genauso.

Und dann habe ich ausgenutzt, dass diese Zustände Produktzustände sind und dass auch der Störoperator ein Produkt zwischen System und Bad ist.

Das führt dann dazu, dass auch dieses gesamte Matrixelement geschrieben werden kann als Produkt zwischen einem Matrixelement, das sich nur auf das System bezieht, und einem anderen Matrixelement, das sich nur auf das Bad bezieht.

Also einmal das Matrixelement von x zwischen Anfangs- und Endzustand vom System und einmal das von f zwischen Anfangs- und Endzustand.

Und auch die energiehaltende Delta-Funktion kann ein bisschen vereinfacht werden, weil in so einem Fall wissen wir, ohne die Störung sind System und Bad völlig unabhängig.

Das heißt, die gesamte Energie ist immer einfach nur die Summe der Teilenergien, Systemenergie plus Badenergie.

Und das haben wir eingesetzt in diese energiehaltende Delta-Funktion.

Und dann, wenn man einen kleinen Trick anwendet, das heißt, über alle möglichen Badzustände summiert, weil wir sagen, wir interessieren uns nicht dafür, in genau welche Richtung ein Photon emittiert wird.